Question

8．設函數$f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的最小正周期為π，且$f（\frac{π}{2}）=-\frac{1}{2}$．
（1）求ω和ϕ的值；
（2）用五點法作出函數f（x）在[0，π]上的圖象；
（3）將f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），然后向右平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=g（x），求g（x）的單調減區間．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式可求ω的值，利用誘導公式及已知結合范圍0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，可求ϕ的值．
（2）分別令2x+$\frac{π}{6}$=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，求出對應的x的值，列表，用五點畫圖法畫出函數圖象即可．
（3）根據圖象的變換規則逐步得出函數解析式為g（x）=sin$\frac{1}{2}x$，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}x$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的單調減區間．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵由已知T=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得：ω=2，
又∵f（$\frac{π}{2}$）=sin（2×$\frac{π}{2}$+ϕ）=-sinϕ=-$\frac{1}{2}$，且0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=$\frac{π}{6}$…2分
（2）由（1）可得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
列表如下：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
y	0	1	0	-1	0

描點連線作圖如下：
…7分
（3）將函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變）后得到的函數為y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
然后向右平移$\frac{π}{3}$個單位，得g（x）=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=sin$\frac{1}{2}x$，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}x$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：4kπ+π≤x≤4kπ+3π，k∈Z，
可得：g（x）的單調減區間為：[4kπ+π，4kπ+3π]，k∈Z…12分

點評 本題主要考查了周期公式，誘導公式，五點畫圖法畫出函數圖象，三角函數圖象的變換規則，正弦函數的圖象和性質的應用，考查了數形結合思想，屬于基礎題．