Question

5．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=a^x-1（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關于x的不等式f（x）＜4，結果用集合或區間表示．

Answer 1

分析 （1）根據題意可得f（-2）=-f（2），即f（2）+f（-2）=0．
（2）設x＜0，則-x＞0，根據f（-x）=a^-x-1=-f（x），求得f（x）的解析式．
（3）分類討論a的范圍，利用函數的單調性求得不等式f（x）＜4的解集．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數，∴f（-2）=-f（2），即f（2）+f（-2）=0．
（2）設x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=a^-x-1．
由f（x）是奇函數，有f（-x）=-f（x），∵f（-x）=a^-x-1，
∴f（x）=-a^-x+1（x＜0），∴所求的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}-1（x≥0）\\-{a^{-x}}+1（x＜0）\end{array}\right.$．
（3）不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}-1＜4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x＜0\\-{a^{-x}}+1＜4\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}＜5\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x＜0\\-{a^{-x}}＜3\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}＜5\end{array}\right.或x＜0$．
當a＞1時，有$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x＜{log_a}5\end{array}\right.或x＜0$，∵log_a5＞0，所以不等式的解集為（-∞，log_a5）；
當0＜a＜1時，有$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x＞{log_a}5\end{array}\right.或x＜0$，∵log_a5＜0，所以不等式的解集為（-∞，0）．
綜上所述，當a＞1時，不等式的解集為（-∞，log_a5）；
當0＜a＜1時，不等式的解集為（-∞，0）．

點評 本題主要考查利用函數的單調性和奇偶性求函數的解析式，解不等式，屬于中檔題．