Question

4．已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（2-x），方程f（x）=0在[0，1]內只有一個根x=$\frac{1}{2}$，則f（x）=0在區間[0，2016]內根的個數2016．

Answer 1

分析 由f（x）=f（2-x）和對稱性可得：f（x）的圖象關于直線x=1對稱，由f（x+1）=f（x-1）和周期性的定義求出函數的周期，由對稱性和條件求出f（x）在一個周期[0，2]上的零點個數，由周期性即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，即f（1-x）=f（1+x）．
∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
即函數f（x）是周期為2的周期函數，
∵方程f（x）=0在[0，1]內只有一個根x=$\frac{1}{2}$，
∴由對稱性得，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴函數f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，
即函數f（x）在每兩個整數之間都有一個零點，
∴f（x）=0在區間[0，2016]內根的個數為2016，
故答案為：2016．

點評 本題考查方程的根的存在性及個數判斷，函數的對稱性與周期性的應用，以及抽象函數的應用，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．