Question

14．已知函數f（x）=x²e^x，則f（x）的極大值為$\frac{4}{{e}^{2}}$，若f（x）在[t，t+1]上不單調，則t的取值范圍是（-3，-2）∪（-1，0）．

Answer 1

分析 ①f′（x）=2xe^x+x²e^x=x（x+2）e^x，令f′（x）=0，解得x=0，-2，列出表格可得單調性極值．
②由表格可知：函數f（x）在（-2，0）上單調遞減，（-∞，-2），（0，+∞）上單調遞增，由于函數f（x）=x²e^x在區間[t，t+1]上不單調，可得t＜-2＜t+1或t＜0＜t+1，解出即可得出．

解答 解：①f′（x）=2xe^x+x²e^x=x（x+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，-2，
可得：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：x=-2時，函數f（x）取得極大值，f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
②由表格可知：函數f（x）在（-2，0）上單調遞減，（-∞，-2），（0，+∞）上單調遞增，
∴0或-2是函數的極值點，
∵函數f（x）=x²e^x在區間[t，t+1]上不單調，
∴t＜-2＜t+1或t＜0＜t+1，
∴-3＜t＜-2或-1＜t＜0，
實數t的取值范圍是：（-3，-2）∪（-1，0）．
故答案為：$\frac{4}{{e}^{2}}$，（-3，-2）∪（-1，0），

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．