Question

2．設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-2）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 構造函數g（x），利用g（x）的導數判斷函數g（x）的單調性與奇偶性，求出不等式的解集即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（x）的導數為：
g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當x＞0時總有xf′（x）-f（x）＜0成立，
即當x＞0時，g′（x）＜0，
∴當x＞0時，函數g（x）為減函數，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{-f（x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函數g（x）為定義域上的偶函數，
∴x＜0時，函數g（x）是增函數，
又∵g（-2）=$\frac{f（-2）}{-2}$=0=g（2），
∴x＞0時，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0時，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（-2），解得：x＜-2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（-∞，-2）∪（0，2）．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式的應用問題，是綜合題目．