Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}（a＞．b＞0）$，直線$y=\sqrt{2}x-3\sqrt{2}$與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，F₁，F₂為橢圓C的左右焦點，P為橢圓C上異于頂點的任意一點，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且IG∥F₁F₂，則橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），則G（$\frac{{x}_{0}}{3}，\frac{{y}_{0}}{3}$），由已知條件推導出a=2c，b=$\frac{|-3\sqrt{2}|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{6}$，結合隱含條件求得a²，則橢圓方程可求．

解答 解：設P（x₀，y₀），I（x₁，y₁），則G（$\frac{{x}_{0}}{3}，\frac{{y}_{0}}{3}$）．
又IG∥F₁F₂，y_I=$\frac{{y}_{0}}{3}$，|F₁F₂|=2c，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）•|$\frac{{y}_{0}}{3}$|，
∴2c=$\frac{2a+2c}{3}$，故a=2c．
又直線$y=\sqrt{2}x-3\sqrt{2}$與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，
∴b=$\frac{|-3\sqrt{2}|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
∴${a}^{2}=6+\frac{{a}^{2}}{4}$，得a²=8．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．