Question

1．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
（1）求證橢圓C₁在其上一點A（x₀，y₀），A處的切線方程為x₀x+2y₀y-2=0．
（2）如圖，過橢圓C₂：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$上任意一點P作C₁的兩條切線PM和PN，切點分別為M，N，當點P在橢圓C₂上運動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由判別式等于0可得A處的切線方程為x₀x+2y₀y-2=0；
（2）利用同一法求出過MN的方程為mx+2ny-2=0，由點到直線的距離公式求出O到MN所在直線的距離，由距離為定值可得存在定圓恒與直線MN相切．

解答 （1）證明：聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y-2=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2=0}\end{array}\right.$，得$（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}）{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-4{{y}_{0}}^{2}=0$．
∵△=$16{{x}_{0}}^{2}-4（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}）（4-4{{y}_{0}}^{2}）$=$16（{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-2{{y}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{4}）$
=$16[（{{x}_{0}}^{2}-2）{{y}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{4}]=16（-2{{y}_{0}}^{4}+2{{y}_{0}}^{4}）=0$．
∴x₀x+2y₀y-2=0為橢圓${C_1}：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$在點A（x₀，y₀）處的切線方程；
（2）解：設P（m，n），則橢圓C₁在點M（x₃，y₃）處的切線方程為x₃x+2y₃y-2=0．
又PM過點P（m，n），∴x₃m+2y₃n-2=0．
同理點N（x₄，y₄）也滿足x₄m+2y₄n-2=0．
∴M，N都在直線xm+2yn-2=0上，
即直線MN的方程為mx+2ny-2=0．
∴原點0到直線MN的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}}$．
∵$\frac{m^2}{8}+\frac{n^2}{2}=1$，∴m²+4n²=8．
∴$d=\frac{2}{{\sqrt{8}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
即直線MN始終與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$相切．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用“同一法”求直線的方程，是中檔題．