Question

10．設${f_{\;}}（x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}$，先分別求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），然后歸納猜想一般性結論，并給出證明．

Answer 1

分析 利用條件，求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），歸納猜想一般性結論，利用指數的性質給出證明．

解答 解：f（0）+f（1）=$\frac{1}{2}$，
同理可得：f（-1）+f（2）=$\frac{1}{2}$，f（-2）+f（3）=$\frac{1}{2}$．
一般性結論：$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{2}$或寫成“若x₁+x₂=1，則f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$．”
證明：$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{1}{{{4^{1-x}}+2}}=\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{4^x}{{{4^x}（{4^{1-x}}+2）}}$=$\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{4^x}{{{4^{\;}}+2×{4^x}}}=\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{4^x}{{2（2+{4^x}）}}$=$\frac{{2+{4^x}}}{{2（2+{4^x}）}}=\frac{1}{2}$，

點評 本題考查歸納推理，考查學生分析解決問題的能力，正確歸納猜想是關鍵．