Question

19．函數f（x）=lnx-3ax有兩個零點，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3e}$）．

Answer 1

分析 令y=0，進行變形lnx=3ax，即a=$\frac{lnx}{3x}$，令 g（x）=$\frac{lnx}{3x}$，利用導數的方法，研究其單調性及最大值，從而求出實數a的取值范圍．

解答 解：y=f（x）有零點，即f（x）=lnx-3ax=0有解，a=$\frac{lnx}{3x}$，
令 g（x）=$\frac{lnx}{3x}$，g′（x）=（$\frac{lnx}{3x}$）′=$\frac{1-lnx}{3{x}^{2}}$，
解g′（x）=0得x=e．
則g（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，
當x=e時，g（x）的最大值為g（e）=$\frac{1}{3e}$，
所以a≤$\frac{1}{3e}$，
由于函數f（x）=lnx-3ax有兩個零點，
∴a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3e}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{3e}$）．

點評 本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，還考查了數形結合的思想，是一道中檔題．