Question

4．設x，y，z均為正實數，則三個數$\frac{x}{z}$+$\frac{x}{y}$，$\frac{y}{x}$+$\frac{y}{z}$，$\frac{z}{x}$+$\frac{z}{y}$（　　）

• A． 都大于2
• B． 都小于2
• C． 至多有一個小于2
• D． 至少有一個不小于2

Answer 1

分析 根據x，y，z均為正實數，由基本不等式即可得出$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}≥6$，這樣顯然可得出三個數$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}，\frac{y}{x}+\frac{y}{z}，\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$至少有一個不小于2．

解答 解：∵$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=（\frac{x}{z}+\frac{z}{x}）$$+（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）+（\frac{y}{z}+\frac{z}{y}）≥2+2+2=6$；
∴$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}，\frac{y}{x}+\frac{y}{z}，\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$中至少有一個不小于2．
故選D．

點評 考查基本不等式：$a+b≥2\sqrt{ab}$，a，b∈R^*，注意等號成立的條件．