Question

20．如圖，已知圓$C：{（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}=8，A（\sqrt{3}，0）$，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交直線CQ于點M，設點M的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點A作傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交軌跡E于B，D兩點，求|BD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據雙曲線的定義，確定軌跡E是以A，C為焦點，實軸長為2$\sqrt{2}$的雙曲線的左支，再寫出雙曲線的方程；
（Ⅱ）設切線l的方程y=x-$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1，消元得x²-4$\sqrt{3}$x-8=0，由此，即可求|BD|的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得|MC|-|MA|=|MC|-|MQ|=|CQ|=2$\sqrt{2}$＜2$\sqrt{3}$，
∴軌跡E是以A，C為焦點，實軸長為2$\sqrt{2}$的雙曲線的左支…（2分）
∴軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1（x$≤\sqrt{2}$）…（4分）
（Ⅱ）設切線l的方程為y=x-$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1，消元得x²-4$\sqrt{3}$x-8=0．（8分）
設B，D兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4$\sqrt{3}$，x₁x₂=-8
所以|BD|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{48+32}$=4$\sqrt{10}$．（12分）

點評 本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．