Question

10．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為棱DD₁上一點．
（1）求證：平面PAC⊥平面BDD₁B₁；
（2）若P是棱DD₁的中點，求CP與平面BDD₁B₁所成的角大�。�

Answer 1

分析 （1）證明：AC⊥面BDD₁B₁，即可證明平面PAC⊥平面BDD₁B₁；
（2）確定∠CPO是CP與平面BDD₁B₁所成的角，即可求CP與平面BDD₁B₁所成的角大小．

解答 （1）證明：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，則AC⊥BD，
又DD₁⊥面ABCD，則DD₁⊥AC．
∵BD?平面BDD₁B₁，D₁D?平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，
∴AC⊥面BDD₁B₁．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD₁B₁．   …（5分）
（2）解：由（1）已證：AC⊥面BDD₁B₁，∴CP在平面BDD₁B₁內的射影為OP，
∴∠CPO是CP與平面BDD₁B₁所成的角．            …（7分）
依題意得$CP=\sqrt{2}，CO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△CPO中，CO=$\frac{1}{2}CP$，∴∠CPO=30°
∴CP與平面BDD₁B₁所成的角為30°．                …（12分）

點評 本題考查線面、面面垂直的判定，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．