Question

18．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（4m，0）（m＞0）且m為常數，離心率為$\frac{4}{5}$，過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C與M，N兩點，
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當θ=90°時，$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{9}$，求實數m的值；
（3）試問$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的值是否與直線l的傾斜角θ的大小無關，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由焦點求出c，結合橢圓離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由θ=90°，可得直線l垂直x軸，求出M，N的坐標，代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{9}$，即可求得實數m的值；
（3）當θ=90°時，由（2）知$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$；當θ≠90°時，設直線的斜率為k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則直線MN：y=k（x-4m），聯立橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出M，N的橫坐標的和與積，代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$，說明$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的值與直線l的傾斜角θ的大小無關．

解答 解：（1）由c=4m，$e=\frac{4}{5}$，得：a=5m，∴b²=a²-c²=9m²，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{{25{m^2}}}+\frac{y^2}{{9{m^2}}}=1$；
（2）當x=4m時，${y^2}=\frac{{81{m^2}}}{25}$，得：$|y|=\frac{9m}{5}$，
于是當θ=90°時，$NF=MF=\frac{9m}{5}$，于是$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{9m}{5}=\frac{{9\sqrt{2}}}{5}$，
得到$m=\sqrt{2}$；
（3）①當θ=90°時，由（2）知$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$；
②當θ≠90°時，設直線的斜率為k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則直線MN：y=k（x-4m），
聯立橢圓方程有（9+25k²）x²-200k²mx+25m²（16k²-9）=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{200{k^2}m}}{{（9+25{k^2}）}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{25{m^2}（16{k^2}-9）}}{{（9+25{k^2}）}}$，
$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{1}{{5m-\frac{4}{5}{x_1}}}$+$\frac{1}{{5m-\frac{4}{5}{x_2}}}$=$\frac{10m-\frac{4}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{25{m}^{2}-4m（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{16}{25}{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{90m（1+{k}^{2}）}{81{m}^{2}（1+{k}^{2}）}$．
得$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$．
綜上，$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$為定值，與直線l的傾斜角θ的大小無關．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．