Question

5．函數y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+6}$（x＞-1）的最大值是3$-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意將函數變成化簡為$\frac{1}{y}=\frac{{x}^{2}+5x+6}{x+1}=\frac{（x+1）^{2}+3（x+1）+2}{x+1}$，從而利用基本不等式求解．最小值，可得函數y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+6}$（x＞-1）的最大值

解答 解：函數y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+6}$（x＞-1），
則$\frac{1}{y}=\frac{{x}^{2}+5x+6}{x+1}=\frac{（x+1）^{2}+3（x+1）+2}{x+1}$=$（x+1）+\frac{2}{x+1}+3$，
∵x＞-1，
∴$（x+1）+\frac{2}{x+1}$$≥2\sqrt{2}$，
（當且僅當x+1=$\frac{2}{x+1}$，即x=$\sqrt{2}$-1時，等號成立）
∴$\frac{1}{y}≥2\sqrt{2}+3$，
得y≤$\frac{1}{2\sqrt{2}+3}$=$3-2\sqrt{2}$
故答案為：3$-2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的應用及函數的化簡，屬于中檔題．