Question

15．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成．小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形．

（Ⅰ）試寫出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）的值；
（Ⅱ）利用合情推理中的“歸納推理思想”，歸納出f（n+1）與f（n）之間的關系式；并根據你得到的關系式求出f（n）的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，寫出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）和f（5）的值；
（Ⅱ）根據前面5個函數值，得出規律，f（n）-f（n-1）=4（n-1），從而求出f（n）的表達式．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，得出
f（1）=1，f（2）=5，
f（3）=13，f（4）=25，
f（5）=41；
（Ⅱ）根據前面四個發現規律：
f（2）-f（1）=4×1，
f（3）-f（2）=4×2，
f（4）-f（3）=4×3，
…，
f（n）-f（n-1）=4（n-1）；
這n-1個式子相加可得：f（n）=2n²-2n+1．

點評 本題考查了歸納推理的應用問題，基本思路是先分析，觀察，總結其內在聯系，得到一般性的結論，是基礎題目．