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7.已知函數f(x)=(sinx+cos)2+2$\sqrt{3}$sin2x
(1)求函數f(x)的最小正周期并求出單調遞增區間;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足2acosC+c=2b,求f(B)的取值范圍.

分析 (1)利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為f(x)=2sin(2x-$\frac{π}{3}$)+1+$\sqrt{3}$,由此求得函數f(x)的最小正周期.
(2)在△ABC中,由條件利用余弦定理求得cosA的值,可得A的值,可得B的范圍,再利用正弦函數的定義域和值域求得f(B)的范圍.

解答 解:(1)函數f(x)=(sinx+cos)2+2$\sqrt{3}$sin2x=1+sin2x+2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1+$\sqrt{3}$=2sin(2x-$\frac{π}{3}$)+1+$\sqrt{3}$的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π.
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$,
遞增區間為[kπ-$\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{5π}{12}$],k∈Z.
(2)在△ABC中,2acosC+c=2b,∴2a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c=2b,即b2+c2-a2=bc,
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$,∴A=$\frac{π}{3}$.
∴0<B<$\frac{2π}{3}$,-$\frac{π}{3}$<2B-$\frac{π}{3}$<π,∴sin(2B-$\frac{π}{3}$)∈(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
可得f(B)∈(1,$3+\sqrt{3}$].

點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數的周期性和單調性,余弦定理、正弦函數的定義域和值域,屬于中檔題.

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