Question

20．已函數f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）作出函數y=f（x）的圖象；
（2）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據絕對值不等式的性質表示為分段函數形式進行作圖即可．
（2）利用函數f（x）的圖象，結合直線斜率的關系進行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，}&{x≥3}\\{4，}&{-1＜x＜3}\\{-2x+2，}&{x≤-1}\end{array}\right.$，
則對應的圖象為：

（2）當a=0時，y=0與f（x）的圖象沒有交點，此時不等式f（x）≤ax的解集為空集，不滿足條件．
當a＞0時，當直線y=ax經過點A（3，4）時，3a=4，即a=$\frac{4}{3}$，
要使不等式f（x）≤ax的解集非空，
則a≥$\frac{4}{3}$，
當a＜0時，當直線y=ax的斜率a=-2時，f（x）與y=ax平行，沒有交點，
要使使不等式f（x）≤ax的解集非空，則-2＜a＜0，

綜上要使不等式f（x）≤ax的解集非空，則a≥$\frac{4}{3}$或-2＜a＜0．

點評 本題主要考查分段函數的應用，利用數形結合以及分類討論的數學思想是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．