Question

19．甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是$\frac{1}{2}$外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是$\frac{2}{3}$．假設各局比賽結果相互獨立．
（1）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2獲勝的概率；
（2）若比賽結果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分．求甲隊得分X的概率分布及數學期望．

Answer 1

分析 （1）甲隊獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊勝，分別求出相應的概率，最后根據互斥事件的概率公式求出甲隊獲得這次比賽勝利的概率；
（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．

解答 解：（1）記甲隊以3：0，3：1，3：2獲勝分別為事件A，B，C．
由題意得P（A）=$（\frac{2}{3}）^{3}=\frac{8}{27}$，
P（B）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$，
P（C）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{2}=\frac{4}{27}$
（2）X的可能取值為0，1，2，3．
P（X=3）=P（A）+P（B）=$\frac{16}{27}$；  P（X=2）=P（C）=$\frac{4}{27}$，
P（X=1）=C${\;}_{4}^{2}$•（$\frac{2}{3}$）²（$\frac{1}{3}$）²•$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{27}$，P（X=0）=1-P（1≤X≤3）=$\frac{1}{9}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{16}{27}$

從而E（X）=0×$\frac{1}{9}$+1×$\frac{4}{27}$+2×$\frac{4}{27}$+3×$\frac{16}{27}$=$\frac{20}{9}$．
答：甲隊以3：0，3：1，3：2獲勝的概率分別為$\frac{8}{27}$，$\frac{8}{27}$，$\frac{4}{27}$．甲隊得分X的數學期望為$\frac{20}{9}$．  …（10分）

點評 本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．