Question

2．設橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（$\frac{3}{2}$，1），且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若F₁、F₂為橢圓的上下兩個焦點，A、B為橢圓的兩點，且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{B{F}_{2}}$，求直線AF₁的斜率．

Answer 1

分析 （1）橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，點P（$\frac{3}{2}$，1）代入橢圓方程：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，即可取得a和b的值，求得橢圓C的方程；
（2）延長AF₁交橢圓與B′，由對稱性可知 $\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}B′}$，即x₂=-2x₁，直線AF₁：y=kx+1，代入橢圓方程，由韋達定理可知x₁+x₂=$\frac{-6k}{3k2+4}$，x₁x₂=$\frac{-9}{3k2+4}$，聯立即可求得k的值，即可求得直線AF₁的斜率．

解答 解：（1）由題意知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）焦點在y軸，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
將點P（$\frac{3}{2}$，1）代入橢圓方程：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，
又a²=b²+c²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，…（4分）
故所求的橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$； …（6分）
（2）延長AF₁交橢圓與B′，由對稱性可知 $\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}B′}$，設A（x₁，y₁），B′（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{B{F}_{2}}$，
∴x₂=-2x₁①…（8分）
當直線AB′斜率不存在時，不符合，
當直線AB′斜率存在時，設直線AF₁的斜率為k，又F₁（0，1）
∴直線AF₁：y=kx+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（3k²+4）x²+6kx-9=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6k}{3k2+4}$，x₁x₂=$\frac{-9}{3k2+4}$，
∴-x₁=$\frac{-6k}{3k2+4}$，-2x₁²=$\frac{-9}{3k2+4}$，
∴-2（$\frac{-9}{3k2+4}$）²=$\frac{-9}{3k2+4}$，整理得：45k²=36，
解得：k=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
 故直線AF₁的斜率為±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…..…..（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及向量的共線定理，考查計算能力，屬于中檔題．