Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1及直線l：y=$\frac{3}{2}$x+m，
（1）當直線l與該橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍；
（2）求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值．

Answer 1

分析 （1）將直線方程代入橢圓方程，求得9x²+6mx+2m²-8=0，由△≥0，即可求得實數m的取值范圍；
（2）由（1）可知，由韋達定理及弦長公式可知丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$•$\sqrt{-{m}^{2}+8}$，當m=0時，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為$\frac{2\sqrt{26}}{3}$．

解答 解：（1）將直線方程代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：9x²+6mx+2m²-8=0，
由△=36m²-36（2m²-8）=-36（m²-8），
∵直線l與橢圓有公共點，
∴△≥0，即-36（m²-8）≥0
解得：-2$\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，
故所求實數m的取值范圍為[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]；
（2）設直線l與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知：利用韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6m}{9}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{9}$，
故丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{6m}{9}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-8}{9}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$•$\sqrt{-{m}^{2}+8}$，
當m=0時，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為$\frac{2\sqrt{26}}{3}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．