Question

13．求證函數y=ln$\frac{1}{1+x}$滿足關系式x$\frac{dy}{dx}$+1=e^y．

Answer 1

分析 利用導數的運算法則即可證明．

解答 證明：∵y=ln$\frac{1}{1+x}$，∴$\frac{dy}{dx}$=y′=$\frac{（\frac{1}{1+x}）^{′}}{\frac{1}{1+x}}$=-$\frac{1}{1+x}$，e^y=$\frac{1}{1+x}$．
∴x$\frac{dy}{dx}$+1=1-$\frac{x}{1+x}$=$\frac{1}{1+x}$=e^y．
∴函數y=ln$\frac{1}{1+x}$滿足關系式x$\frac{dy}{dx}$+1=e^y．

點評 本題考查了利用導數的運算法則證明等式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．