Question

5．函數y=sinx（x∈[0，π]）圖象上兩個點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）滿足AB∥x軸，點C的坐標為（π，0），則四邊形OABC的面積取最大值時，x₁+tanx₁=π．

Answer 1

分析 先畫出圖象，根據梯形的面積公式得到S_梯形=（π-x₁）sinx₁，x₁∈（0，$\frac{π}{2}$），再構造函數y=（π-x）sinx，求導，得到函數的最值，問題得以解決．

解答 解：∵x∈[0，π]，
∴y₁=y₂＞0，
∴S_梯形=$\frac{1}{2}$（AB+OC）•y₁=$\frac{1}{2}$[（x₂-x₁）+π]•sinx₁，
∵A與B關于x=$\frac{π}{2}$對稱，
∴$\frac{1}{2}$（x₂-x₁）=$\frac{π}{2}$，
∴x₂=π-x₁，
∴S_梯形=（π-x₁）sinx₁，x₁∈（0，$\frac{π}{2}$），
令y=（π-x）sinx，
∴y′=-sinx+（π-x）cosx=0，
∴tanx=π-x，
∴tanx+x=π，
∴y的最大值處有tanx+x=π，
∴x₁+tanx₁=π，
故答案為：π

點評 本題考查了三角函數的圖象和性質以及梯形的面積的公式，以及導數和函數極值的關系，屬于中檔題．