Question

20．在棱長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是A₁B、CC₁的中點，設過D、M、N三點的平面與B₁C₁交于點P，則PM+PN的值為5+$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 過D，M，N三點的平面是△DQE，且PC₁=4，PB₁=2，C₁N=B₁M=3，由此能求出PM+PN的值．

解答 解：延長D₁C₁，在D₁C₁的延長線上取點E，使C₁E為6，
延長D₁A₁，在D₁A₁的延長線上取點Q，
使A₁D為2，
連結DQ，交AA₁于R，
連結EQ，交A₁B₁于M，交B₁C₁于P，
連結PN，MR．
∵NC₁∥DD₁，∴$\frac{EN}{ED}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵PC₁∥QD₁，∴$\frac{EP}{EQ}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴PN∥DR，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又PN?平面BB₁C₁C，∴D，M，N點的平面與平面BB₁C₁C的交線為PN．
同理，MR∥DN，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又MR?平面AA₁B₁B，∴過D，M，N點的平面與平面BB₁C₁C的交線為MR．
∴過D，M，N三點的平面是△DQE，
且PC₁=4，PB₁=2，C₁N=B₁M=3，
∴PM+PN=$\sqrt{13}$+5
故答案為5+$\sqrt{13}$．

點評 本題考查平面與平面的交線的作法，考查線段和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意平面的基本性質及推論的合理運用．