Question

7．如圖所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點）有n（n＞1，n∈N）個點，每個圖形總的點數記為a_n，則a₆=15；$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2015}}{a_{2016}}}}$=$\frac{2014}{2015}$．

Answer 1

分析 根據圖象的規律可得出通項公式a_n，根據數列的特點可用列項法求其前n項和的公式，而$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2015}}{a_{2016}}}}$是前2014項的和，代入前n項和公式即可得到答案．

解答 解：每個邊有n個點，把每個邊的點數相加得3n，這樣角上的點數被重復計算了一次，故第n個圖形的點數為3n-3，即a_n=3n-3，∴a₆=15；
令S_n=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故答案為15；$\frac{2014}{2015}$

點評 本題主要考查簡單的和清推理，求等差數列的通項公式和用裂項法對數列進行求和問題，同時考查了計算能力，屬中檔題．