Question

12．已知f（x）=sinx-cosx+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的遞增區間．

Answer 1

分析 （1）將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，結合三角函數的圖象和性質可得最大值，
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；

解答 解：（1）f（x）=sinx-cosx+1，x∈R．
化簡得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1 
函數的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
∵sin（x-$\frac{π}{4}$）的最大值為1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1的最大值為$\sqrt{2}+1$，
即y_max=$\sqrt{2}+1$．
   （2）三角函數的圖象和性質可得：（x$-\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]是單調遞增區間，即-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x$-\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得：-$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
故得x∈[-$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z，是函數f（x）單調遞增區間，

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．