Question

1．已知拋物線y²=2px，（p＞0）上存在兩點關于直線y=x-1對稱，則p的取值范圍是0＜p＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設出A，B兩點的坐標，因為A，B在拋物線上，把兩點的坐標代入拋物線方程，作差后求出AB中點的縱坐標，又AB的中點在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標，然后由AB中點在拋物線內部列不等式求得實數p的取值范圍．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為點A和B在拋物線上，所以有y₁²=2px₁①，y₂²=2px₂②
①-②得整理得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
因為A，B關于直線x+y-1=0對稱，所以k_AB=1，即$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1．
所以y₁+y₂=2p．
設AB的中點為M（x₀，y₀），則y₀=p．
又M在直線x+y-1=0上，所以x₀=1-y₀=1-p．
則M（1-p，p）．
因為M在拋物線內部，所以y₀²-2px₀＜0．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜$\frac{2}{3}$．
所以p的取值范圍是0＜p＜$\frac{2}{3}$．
故答案為：0＜p＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了點差法，是解決與弦中點有關問題的常用方法，解答的關鍵是由AB中點在拋物線內部得到關于p的不等式，是中檔題．