Question

8．已知函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），如果?x₀，使f（x₀）=0．且?x∈R，都有f（x）≥f（x₀）成立．又若關于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+8），則實數c的值為16．

Answer 1

分析 根據二次函數的值域為[0，+∞），可得△=0，解之得b=$\frac{1}{4}$a²．由此將關于x的不等式f（x）＜c化簡得x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c＜0，再由根與系數的關系解方程|x₁-x₂|=8，即可得到實數c的值．

解答 解：如果?x₀，使f（x₀）=0．且?x∈R，都有f（x）≥f（x₀）成立．
則函數f（x）的最小值為0，即a²-4b=0，即b=$\frac{1}{4}$a²，
又∵關于x的不等式f（x）＜c可化成x²+ax+b-c＜0，即x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c＜0，
∴不等式f（x）＜c的解集為（m，m+8），也就是
方程x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c=0的兩根分別為x₁=m，x₂=m+8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}+{x}_{2}=-a\\{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}-c\end{array}\right.$，可得|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，
即（-a）²-4（$\frac{1}{4}$a²-c）=64，解之即可得到c=16
故答案為：16

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．