Question

3．已知函數$f（x）=x-\frac{a}{x}$，g（x）=2ln（x+m）．
（1）當m=0，存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]（e為自然對數的底數），使$f（{x_0}）≥\frac{{g（{x_0}）}}{x_0}$，求實數a的取值范圍；
（2）當a=m=1時，設H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的圖象上是否存在不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂＞-1），使得H（x₁）-H（x₂）=$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）•（{x_1}-{x_2}）$？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）x₀f（x₀）≥g（x₀）可化為$a≤{x_0}^2-2ln{x_0}$，
構造h（x）=x²-2lnx，求出其值域即可．
（2）$\frac{{H（{x_1}）-H（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+（{x_1}+{x_2}）$；$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）=\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}+（{x_1}+{x_2}）$；
故可化為$\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}$，即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}+2}}$
又即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2[（{x_1}+1）-（{x_2}+1）]}}{{（{x_1}+1）+（{x_2}+1）}}=\frac{{2[\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}-1]}}{{\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+1}}$①，
令$\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}=t（t＞1）$，①式可化為$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$
令$u（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$，$u'（t）=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，只需考查u（t）的值域即可．

解答 解：（1）x₀f（x₀）≥g（x₀）可化為$a≤{x_0}^2-2ln{x_0}$，
令h（x）=x²-2lnx，則$h'（x）=\frac{2（x+1）（x-1）}{x}（x＞0）$
∴當x∈$[\frac{1}{e}，1）$時，h'（x）＜0；當x∈（1，e]時，h'（x）＞0；
又∵$h（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e^2}+2＜h（e）={e^2}-2$，∴$h{（x）_{max}}={e^2}-2$，則a≤e²-2．…5分
（2）H（x）=x²+2ln（x+1）-1，$H'（x）=\frac{2}{x+1}+2x$；
$\frac{{H（{x_1}）-H（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+（{x_1}+{x_2}）$；
$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）=\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}+（{x_1}+{x_2}）$；
故可化為$\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}$，即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}+2}}$…7分
又即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2[（{x_1}+1）-（{x_2}+1）]}}{{（{x_1}+1）+（{x_2}+1）}}=\frac{{2[\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}-1]}}{{\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+1}}$①，
令$\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}=t（t＞1）$，①式可化為$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$，…9分
令$u（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$，$u'（t）=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，∴u（t）在（1，+∞）上遞增…11分
∴u（t）≥u（1）=0；∴u（t）無零點，故A、B兩點不存在．…12分．

點評 本題考查導數的幾何意義、運算及應用，涉及分離變量、構造函數、換元法以及轉化思想，屬于中檔題．