Question

8．已知函數f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$kx²-2x+2，f′（x）是的導函數．
（1）求f′（x）的單調區間；
（2）若k=1，證明：當x＞0時，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，f'（x）=e^x-kx-2，設g（x）=f'（x），則有g'（x）=e^x-k；再對k分類討論，判斷函數單調區間；
（2）若k=1，由（I）知g（x）在（0，+∞）上遞增，存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；

解答 解：（I）f'（x）=e^x-kx-2，設g（x）=f'（x），則有g'（x）=e^x-k；
①當k≤0時，g'（x）＞0；
②當k＞0時，由g'（x）＞0得，x＞lnk；
由g'（x）＜0得，x＜lnk．
當k≤0時，f'（x）的遞增區間為R；
當k＞0時，f'（x）的遞增區間為（lnk，+∞），遞減區間為（-∞，lnk）．
（II）證明：若k=1，由（I）知g（x）在（0，+∞）上遞增，
g（1）=e-3＜0，g（2）=e²-4＞0，
∴存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；
且當x＞x₀，g（x）＞0，當x＜x₀時，g（x）＜0；
∴f（x）的遞增區間為（x₀，+∞），遞減區間為（0，x₀），
∴f（x）≥f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+2$；
由g（x₀）=0得${e}^{{x}_{0}}$=x₀+2，∴f（x₀）=-$\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+4$
由x₀∈（1，2）得f（x₀）＞0，
∴f（x）＞0．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數單調性，以及分類討論思想應用，屬中等題．