Question

3．已知函數f（x）是定義在區間[-2，2]的奇函數，若f（x）+x•f′（x）＞0，則不等式（-x+1）•f（1-x）＞0的解集是[-1，1）．

Answer 1

分析 構造函數，設g（x）=xf（x），求導，根據題意得到函數g（x）為增函數，則求出g（0）=0，則不等式（-x+1）•f（1-x）＞0轉化為g（-x+1）＞g（0），根據函數的單調性和函數的定義域即可求出不等式的解集．

解答 解：設g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，
∴g（x）在[-2，2]上為增函數，
∵函數f（x）是定義在區間[-2，2]的奇函數，
∴g（0）=0×f（0）=0
∵（-x+1）•f（1-x）＞0
∴g（-x+1）＞g（0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-x+1≤2}\\{-x+1＞0}\end{array}\right.$，
解得-1≤x＜1，
故不等式的解集為[-1，1），
故答案為[-1，1）．

點評 本題考查了導數和函數的單調性的應關系，以及不等式的解集的求法，關鍵是構造函數，屬于中檔題．