Question

12．求方程（sinx+cosx）tanx=2cosx在區間（0，π）上的解．

Answer 1

分析 “切化弦”的思想，利用二倍角和輔助角公式化簡，即可求方程．

解答 解：（sinx+cosx）tanx=2cosx，
即：（sinx+cosx）$\frac{sinx}{cosx}$=2cosx
?sin²x+sinxcosx=2cos²x
?$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=1+cos2x
?sin2x-3cos2x=1
?$\sqrt{10}$sin（2x-θ）=1，θ=arctan3．
?sin（2x-θ）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
2x-θ=arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$或2x-θ=π-arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故得x=$\frac{1}{2}$（arctan3+arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$）或x=$\frac{1}{2}$（π-arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$+arctan3）

點評 本題考查了“切化弦”的思想和二倍角和輔助角公式化簡計算能力．屬于中檔題．