Question

2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=$\sqrt{5}$，BC=4，BC的中點為O，A₁O垂直于底面ABC．
（1）證明：在側棱AA₁上存在一點E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的長；
（2）求二面角A₁-B₁C-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點E，可得OE⊥BB₁．由A₁O⊥平面ABC，得A₁O⊥BC，再由AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，進一步得BC⊥平面AA₁O，則BC⊥OE，由線面垂直的判定可得OE⊥平面BB₁C₁C，由射影定理求得AE；
（2）分別以OA，OB，OA₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由已知求得所用點的坐標，可得平面BB₁C₁C的法向量是（$\frac{4}{5}，0，\frac{2}{5}$），再求出平面A₁CB₁的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A₁-B₁C-B的平面角的余弦值．

解答 （1）證明：連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點E，
∵AA₁∥BB₁，∴OE⊥BB₁．
∵A₁O⊥平面ABC，
∴A₁O⊥BC，∵AB=AC，OB=OC，
∴AO⊥BC，得BC⊥平面AA₁O，則BC⊥OE，
∴OE⊥平面BB₁C₁C，
又$AO=\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}=1$，$A{A}_{1}=\sqrt{5}$，
∴$AE=\frac{A{O}^{2}}{A{A}_{1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）解：如圖所示，分別以OA，OB，OA₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2），B（0，2，0）．
由（1）可知$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{5}\overrightarrow{A{A}_{1}}$，得點E的坐標為（$\frac{4}{5}，0，\frac{2}{5}$），
由（1）可知平面BB₁C₁C的法向量是（$\frac{4}{5}，0，\frac{2}{5}$），
設平面A₁CB₁的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=y+z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得x=2，z=-1，即$\overrightarrow{n}=（2，1，-1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
所求二面角的平面角與＜$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{n}$＞互補，所求的余弦值是$-\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的平面角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．