Question

17．如圖①，四邊形ABCD為等腰梯形，AE⊥CD，AB=AE=$\frac{1}{3}$CD，F為EC的中點，現將△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如圖②，且平面PAE⊥面ABCE．

（1）求證：面PAF⊥面PBE
（2）求直線PF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AEFB為正方形，可證得BE⊥AF；再利用面面垂直的性質，證得線面垂直，再得PE⊥AF，由此可證AF⊥平面PBE，從而證明面面垂直；
（2）求出$\overrightarrow{PF}$，平面PBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求直線PF與平面PBC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵EF∥AB，AB=EF=$\frac{1}{3}$CD，
∴四邊形AEFB為平行四邊形，又AE=AB，AE⊥CD，
∴四邊形AEFB為正方形，∴BE⊥AF，
∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，
∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，
又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，
∵AF?平面PAF，
∴平面PBE⊥平面PAF；
（2）解：建立如圖所示的坐標系，

設AB=4，則P（0，0，4），A（0，4，0），B（4，4，0），C（8，0，0），F（4，0，0），
∴$\overrightarrow{PF}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{BC}$=（4，-4，0），$\overrightarrow{PB}$=（4，4，-4），
設$\overrightarrow{a}$=（x，y，z）為平面PBC的一個法向量，則$\left\{\begin{array}{l}4x-4y=0\\ 4x+4y-4z=0\end{array}\right.$，
∴令x=1，則$\overrightarrow{a}$=（1，1，2），
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{a}|}{\left|\overrightarrow{PF}\right|•\left|\overrightarrow{a}\right|}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴直線PF與平面PBC所成角的正弦值為 $\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了面面垂直的證明，考查線面角，考查向量知識的運用，正確求出平面的法向量是關鍵