Question

6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（1，0）
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知過點（-1，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且|FA|=2|FB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（1，0），求出p，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得2x₂=x₁-1，將直線與拋物線方程聯立可得x₁+x₂，x₁x₂ 的值，解出k，從而問題得解．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（1，0）
∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設直線y=k（x+1）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}$得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$-2①，x₁x₂=1②，
∵|FA|=2|FB|，∴2x₂=x₁-1③
①②③聯立解得k=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴直線方程$l：y=\frac{2}{3}\sqrt{2}（x+1）$或$l：y=-\frac{2}{3}\sqrt{2}（x+1）$

點評 本題主要考查了拋物線的標準方程和直線與拋物線的關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．