Question

18．如圖在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為A₁D₁和CC₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ACD₁；
（2）求EF與平面CC₁D₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標系，取BC₁中點G，證明$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{{A}_{1}G}$共線共線，可得EF∥A₁G，即可證明EF∥平面A₁C₁B；
（2）求出平面CC₁D₁D的法向量，用數量積公式求夾角余弦即可．

解答 （1）證明：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A₁（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C₁（0，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
取BC₁中點G，則G（1，2，1），$\overrightarrow{{A}_{1}G}$=（-1，2，-1），
又$\overrightarrow{EF}$=（-1，2，-1），∴$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{{A}_{1}G}$，
∴$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{{A}_{1}G}$共線，∴EF∥A₁G，
∵A₁G?平面A₁C₁B，EF?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B；
（2）解：平面CC₁D₁D的法向量為（2，0，0），
∴EF與平面CC₁D₁D所成角的正弦值=$\frac{|-2|}{\sqrt{1+4+1}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴EF與平面CC₁D₁D所成角的余弦值=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點評 本題考查用向量法證明線面平行，求EF與平面CC₁D₁D所成角的余弦值，用向量方法解決立體幾何中的位置關系、夾角及距離問題是空間向量的一個重要運用，