Question

13．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖，E是棱AA₁上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D₁，E，B作該正方體的截面與棱CC₁交于點(diǎn)F．設(shè)AE=x，則下列關(guān)于四棱錐B₁-BFD₁E的命題，其中正確的序號(hào)有③④
①底面BFD₁E的面積隨著x增大而增大；
②四棱錐B₁-BFD₁E的體積隨著x增大先增大后減少；
③底面BFD₁E的面積隨著x增大先減少后增大；
④四棱錐B₁-BFD₁E的體積與x取值無(wú)關(guān)，且總保持恒定不變．

Answer 1

分析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，由圖形可知，當(dāng)x=0或x=a時(shí)，四邊形BFD₁E的面積取得最大值為$\sqrt{2}{a}^{2}$，當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時(shí)，四邊形BFD₁E的面積有最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$，由此判斷①錯(cuò)誤，③正確；再利用等積法證明四棱錐B₁-BFD₁E的體積與x取值無(wú)關(guān)，說(shuō)明②錯(cuò)誤，④正確．

解答 解：由圖可知，四邊形BFD₁E是平行四邊形，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，AE=x（0≤x≤a），
則當(dāng)x=0或x=a時(shí)，四邊形BFD₁E的面積取得最大值為$\sqrt{2}{a}^{2}$，
當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時(shí)，四邊形BFD₁E的面積有最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$．
∴①錯(cuò)誤，③正確；
四棱錐B₁-BED₁F的體積等于${V}_{{D}_{1}-B{B}_{1}E}+{V}_{{D}_{1}-B{B}_{1}F}$，
∵三角形BB₁E的面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}$為定值，三棱錐D₁-BB₁E的高D₁C₁=a，
三角形BB₁F的面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}$為定值，三棱錐D₁-BB₁F的高為D₁A₁=a，
∴三棱錐D₁-BB₁E和三棱錐D₁-BB₁F體積為定值，
即四棱錐B₁-BED₁F的體積為定值，
∴②錯(cuò)誤，④正確．
∴正確命題的序號(hào)是③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用等積法求多面體的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．