Question

4．已知x=1是$f（x）=2x+\frac{b}{x}+lnx$的一個極值點．
（1）求函數f（x）的單調減區間；
（2）設函數$g（x）=f（x）-\frac{3+a}{x}$，若函數g（x）在區間[1，2]內單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用函數的極值點，求解b，然后驗證求解函數的單調區間．
（2）求出函數的導數，利用函數的單調性求解函數的最值，推出結果即可．

解答 解：（1）因為x=1是$f（x）=2x+\frac{b}{x}+lnx$的一個極值點，
所以f′（1）=0，解得b=3，經檢驗，適合題意，所以b=3-------------------------（2分）
定義域為（0，+∞），f′（x）=2-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$＜0，解得x∈（-$\frac{3}{2}$，1）------------（4分）
所以函數的單調遞減區間為：（0，1]-------------------------------------（6分）
（2）$g（x）=f（x）-\frac{3+a}{x}=2x+lnx-\frac{a}{x}$，$g'（x）=2+\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}$--------（8分）
因為函數在[1，2]上單調遞增，所以g'（x）≥0恒成立，即$2+\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}≥0$恒成立
所以a≥-2x²-x，即a≥（-2x²-x）_max--------（10分）
而在[1，2]上（-2x²-x）_max=-3
所以a≥-3--------（12分）．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的極值以及函數的單調性函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．