Question

15．若函數f（x）=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2時取得最小值，則實數m的取值范圍是[5，+∞）．

Answer 1

分析 根據條件可得，化為分段函數，根據函數的單調性和函數值即可得到則$\left\{\begin{array}{l}{-（m+7）≤0}\\{-（m+5）≤0}\\{m-5≥0}\\{m+7≥0}\\{m+2≥7}\\{12+m≥7}\end{array}\right.$解得即可．

解答 解：當x＜1時，f（x）=1-x+2m-mx+18-6x=19+2m-（m+7）x，
當1≤x＜2時，f（x）=x-1+2m-m，x+18-6x=17+2m-（m+5）x，f（1）=12+m，
2≤x＜3時，f（x）=x-1+mx-2m+18-6x=17-2m+（m-5）x，f（2）=7，
當x≥3時，f（x）=x-1+mz-2m+6x-18=-19-2m+（m+7）x，f（3）=m+2，
若函數f（x）=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2時取得最小值，
則$\left\{\begin{array}{l}{-（m+7）≤0}\\{-（m+5）≤0}\\{m-5≥0}\\{m+7≥0}\\{m+2≥7}\\{12+m≥7}\end{array}\right.$
解得m≥5，
故m的取值范圍為[5，+∞），
故答案為：[5，+∞），

點評 本題考查了函數最值和絕對值函數，并考查了函數的單調性，屬于中檔題．