Question

7．設函數y=f（x）在區間D上的導函數為f′（x），f′（x）在區間D上的導函數為g（x）．若在區間D上，g（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在區間D上為“凸函數”．已知實數m是常數，f（x）=$\frac{x^4}{12}-\frac{{m{x^3}}}{6}-\frac{{3{x^2}}}{2}$，若對滿足|m|≤2的任何一個實數m，函數f（x）在區間（a，b）上都為“凸函數”，則b-a的最大值為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 通過二次求解導函數，轉化當|m|≤2時關于m的一次函數h（m）=x²-mx-3＜0恒成立，兩次不等式求解即可．

解答 解：實數m是常數，f（x）=$\frac{x^4}{12}-\frac{{m{x^3}}}{6}-\frac{{3{x^2}}}{2}$，f′（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}-\frac{m{x}^{2}}{2}-3x$，f″（x）=x²-mx-3，
當|m|≤2時，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立，等價于當|m|≤2時關于m的一次函數
h（m）=x²-mx-3＜0恒成立．∴h（-2）＜0且 h（2）＜0，綜上可得-1＜x＜1，
從而（b-a）_max=1-（-1）=2．
故選：B．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，二次求導，函數的單調性，考查轉化思想以及恒成立條件的應用，考查計算能力．