Question

20．正四面體相鄰兩個面所成的二面角的大小為$arccos\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合對稱性找出一個二面角的平面角，求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖，四面體P-ABC為正四面體，
設(shè)正四面體的棱長為a，過P作PO⊥面ABC，
則O為底面三角形中心，
連接CO并延長，交AB于E，連接PE，則PE⊥AB，
∠PEO為二面角P-AB-C的平面角，
$PE=CE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$OE=\frac{1}{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
在Rt△POE中，cos∠PEO=$\frac{OE}{PE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{3}$，
∴∠PEO=arccos$\frac{1}{3}$．
即正四面體相鄰兩個面所成的二面角的大小為$arccos\frac{1}{3}$．
故答案為：$arccos\frac{1}{3}$．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，考查正四面體的概念，正確找出二面角的平面角是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．