Question

9．過球O表面上一點A引三條長度相等的弦AB，AC，AD，且兩兩夾角都為60°，若球半徑為3，則弦AB的長度為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 可設棱長為x、列出方程求解．關鍵就是確定出球心的位置．

解答 解：如圖，在正四面體ABCD中、作AO₁⊥底面BCD于O₁，則O₁為△BCD的中心．
∵OA=OB=OC=OD=3，
∴球心O在底面的射影也是O₁，于是A、O、O₁三點共線．
設正四面體ABCD的棱長為x，
則AB=x，BO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，AO₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}x$，
∵OO₁=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{2}}$
又OO₁=AO₁-AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}x-R$
由此解得x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}R=2\sqrt{6}$，
故正四面體ABCD的棱長，即弦AB的長度為2$\sqrt{6}$．
故答案為$2\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查①一個多面體的所有頂點在一個球面上，則稱這個多面體內接于一個球，這個球也叫做多面體的外接球；②有關外接球的問題常常利用它的軸截面來解決．屬于中檔題．