Question

1．如圖，過原點斜率為k的直線與曲線y=lnx交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①k的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
②$\frac{1}{x_1}$＜k＜$\frac{1}{x_2}$．
③當x∈（x₁，x₂）時，f（x）=kx-lnx先減后增且恒為負．
以上結論中所有正確結論的序號是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 構造函數f（x）=kx-lnx，求導可得f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，由已知f（x）有兩個不同的零點，得k＞0，進一步可得f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{k}，+∞$）上單調遞增，畫圖可得f（$\frac{1}{k}$）=1-$ln\frac{1}{k}$＜0，則0$＜k＜\frac{1}{e}$，故①正確；由${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，得$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$，故②錯誤；由圖可知，當x∈（x₁，x₂）時，f（x）=kx-lnx先減后增且恒為負，故③正確．

解答 解：令f（x）=kx-lnx，則f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
由已知f（x）有兩個不同的零點，則k＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{k}，+∞$）上單調遞增，
∴f（$\frac{1}{k}$）=1-$ln\frac{1}{k}$＜0，則0$＜k＜\frac{1}{e}$，故①正確；
且有${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，∴$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$，故②錯誤；
當x∈（x₁，x₂）時，f（x）=kx-lnx先減后增且恒為負，故③正確．
∴所有正確結論的序號是①③．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了利用導數研究函數的單調性，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．