Question

15．A，B，C為圓O上三點，且直線OC與直線AB交于圓外一點，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，則m+n的范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，0）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 可設直線OC與直線AB交于點D，這樣畫出圖形，從而可得出$\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$，并得到k＞1，進而得出$\overrightarrow{OD}=km\overrightarrow{OA}+kn\overrightarrow{OB}$，由A，B，D三點共線即可得到km+kn=1，這樣根據k的范圍，即可求出m+n的范圍．

解答 解：如圖，設直線OC與直線AB交于D，則：
$\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$，且k＞1；
又$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OD}=km\overrightarrow{OA}+kn\overrightarrow{OB}$，且A，B，D三點共線；
∴km+kn=1；
∴$m+n=\frac{1}{k}$，k＞1；
∴0＜m+n＜1；
即m+n的范圍是（0，1）．
故選A．

點評 考查共線向量基本定理，向量數乘的幾何意義，以及三點共線的充要條件，不等式的性質．