Question

1．若數列{a_n}是正項數列，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n，則$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 $\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n，n=1時，a₁=4．n≥2時，$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+（n-1），相減可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=2n，即a_n=4n².$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n，
∴n≥2時，$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+（n-1），
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
∴a_n=4n²．
n=1時，$\sqrt{{a}_{1}}$=2，可得a₁=4，對于上式也成立．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
則$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、數列通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．