Question

13．已知實數a＞0，函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{x-1}}+\frac{a}{2}，x＜0\\{e^{x-1}}+\frac{a}{2}{x^2}-（a+1）x+\frac{a}{2}，x≥0\end{array}\right.$，若關于x的方程$f[-f（x）]={e^{-a}}+\frac{a}{2}$有三個不等的實根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（1，2+\frac{2}{e}）$
• B． $（2，2+\frac{2}{e}）$
• C． $（1，1+\frac{1}{e}）$
• D． $（2，2+\frac{1}{e}）$

Answer 1

分析 求出f（x）=e^-a+$\frac{a}{2}$的解為1-a，即可得出f（x）=a-1有三解，判斷f（x）的單調性，計算最值，作出f（x）的圖象，根據圖象得出關于a的不等式，即可解出a的范圍．

解答 解：當x＜0時，f（x）在（-∞，0）上單調遞增，且x→-∞時，f（x）→$\frac{a}{2}$，
當x≥0時，f′（x）=e^x-1+ax-a-1，
∴f′（x）是增函數，且f′（1）=0，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
又f（1）=0，當x→+∞時，f（x）→+∞，
作出f（x）的大致函數圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）≥0，∴f（-f（x））∈（$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{e}+\frac{a}{2}$]，
∴$\frac{a}{2}$＜e^-a+$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{e}$+$\frac{a}{2}$，
解得a≥1．
令-f（x）=t，則t≤0，且f（t）=e^-a+$\frac{a}{2}$，
由圖象可知：f（t）=e^-a+$\frac{a}{2}$有三解，不妨設從小到大依次為t₁，t₂，t₃，
則t₁=1-a，t₃＞1＞t₂＞0不符合題意，舍去．
∴-f（x）=1-a，即f（x）=a-1．
∴f（x）=a-1有三解，
∴$\frac{a}{2}＜a-1＜\frac{1}{e}+\frac{a}{2}$，解得2$＜a＜2+\frac{2}{e}$．
故選B．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，函數單調性的判斷與極值計算，屬于中檔題．