Question

2．定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-2）=-f（x），且在[0，1]上是增函數，則f（$\frac{1}{4}$），f（-$\frac{1}{4}$），f（$\frac{3}{2}$）的大小關系是$f（-\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 根據題意，分析可得f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$-2）=-f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），又由函數在[0，1]上是增函數，結合函數的奇偶性可得f（x）在[-1，0]上也是增函數，則有f（-$\frac{1}{4}$）＜f（0）＜f（$\frac{1}{4}$）＜f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），即可得答案．

解答 解：根據題意，對于函數f（x），有f（x-2）=-f（x），即f（x）=-f（x-2），
則有f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$-2）=-f（-$\frac{1}{2}$），
又由函數f（x）為奇函數，則有f（-x）=-f（x），
f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），即-f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
綜合有f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
又由函數f（x）在[0，1]上是增函數，則其在[-1，0]上也是增函數，
則有f（-$\frac{1}{4}$）＜f（0）＜f（$\frac{1}{4}$）＜f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
即$f（-\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{3}{2}）$
故答案為：$f（-\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{1}{4}）$＜$f（\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查函數奇偶性與單調性的綜合應用，注意分析f（$\frac{3}{2}$）與f（$\frac{1}{2}$）的關系．