Question

12．在等比數列{a_n}中，公比q＞1，a₂=2，前三項和S₃=7．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}$，設數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用對數的運算性質、裂項求和方法即可得出．

解答 （1）解：q＞1時，a₂=a₁q=2；S₃=a₁（1+q+q²）=7，解得a₁=1，q=2；
∴a_n=2^n-1．
（2）證明：b_n=log₂a_n=n-1，
c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、對數的運算性質、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．