Question

4．已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓C的一個焦點F在拋物線y²=4x的準線上，且橢圓C過點$P（1，\frac{3}{2}）$，直線與橢圓C交于A，B兩個不同點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線的斜率為$\frac{1}{2}$，且不過點P，設直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線y²=4x的準線方程為x=-1，推出c=1，故設橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．點在橢圓上，列出方程組求解可得橢圓C的方程．
（2）直線的斜率為$\frac{1}{2}$，且不過$P（1，\frac{3}{2}）$點，設直線$l：y=\frac{1}{2}x+m（m≠1）$．聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{1}{2}x+m\end{array}\right.$，消y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用判別式以及韋達定理，表示k₁+k₂，推出定值．

解答 解：（1）拋物線y²=4x的準線方程為x=-1，由題意知F（-1，0）．
故設橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{a^2}-{b^2}}=1\\ \frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{b^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=4\\{b^2}=3\end{array}\right.$．
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）證明：∵直線的斜率為$\frac{1}{2}$，且不過$P（1，\frac{3}{2}）$點，∴可設直線$l：y=\frac{1}{2}x+m（m≠1）$．
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{1}{2}x+m\end{array}\right.$，消y得x²+mx+m²-3=0．又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故有$\left\{\begin{array}{l}△={m^2}-4（{m^2}-3）＞0\\{x_1}+{x_2}=-m\\{x_1}{x_2}={m^2}-3\end{array}\right.$，
所以${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{（{y_1}-\frac{3}{2}）（{x_2}-1）+（{y_2}-\frac{3}{2}）（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$
=$\frac{{（\frac{1}{2}{x_1}+m-\frac{3}{2}）（{x_2}-1）+（\frac{1}{2}{x_2}+m-\frac{3}{2}）（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$
=$\frac{{{x_1}{x_2}+（m-2）（{x_1}+{x_2}）-2m+3}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}$
=$\frac{{{m^2}-3+（m-2）（-m）-2m+3}}{{{m^2}-3-（-m）+1}}=0$，所以k₁+k₂為定值0．

點評 本題考查拋物線以及橢圓的位置關系的綜合應用，直線與橢圓的位置關系的應用，定值問題的處理方法，考查計算能力．