Question

15．已知a，b，c都是正數，且4a+9b+c=3，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的最小值是12．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）（$\frac{4a}{3}$+3b+$\frac{c}{3}$），展開后，利用基本不等式即可求出答案

解答 解：由4a+9b+c=3，∴$\frac{4a}{3}$+3b+$\frac{c}{3}$=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）（$\frac{4a}{3}$+3b+$\frac{c}{3}$），
=$\frac{4}{3}$+$\frac{3b}{a}$+$\frac{c}{3a}$+3+$\frac{4a}{3b}$+$\frac{c}{3b}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{4a}{3c}$+$\frac{3b}{c}$
=3+$\frac{5}{3}$+（$\frac{3b}{a}$+$\frac{4a}{3b}$）+（$\frac{c}{3a}$+$\frac{4a}{3c}$）+（$\frac{c}{3b}$+$\frac{3b}{c}$）≥3+$\frac{5}{3}$+4+$\frac{4}{3}$+2=12．
當且僅當a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{6}$，c=$\frac{1}{2}$取等號，
故$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的最小值是12．
故答案為：12

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了變形的能力，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．