Question

10．已知P（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是C的兩個焦點，若$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}＜0$，則x₀的取值范圍是（　　）

• A． $（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}）$
• B． $（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• C． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• D． $（{-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）$

Answer 1

分析 設(shè)以O(shè)為原點、半焦距c=$\sqrt{3}$為半徑的圓x²+y²=3與橢圓交于A，B兩點；由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，x=$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$
可得x₀的取值范圍是（-$-\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．

解答 解：如圖，設(shè)以O(shè)為原點、半焦距c=$\sqrt{3}$為半徑的圓x²+y²=3與橢圓交于A，B兩點；
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得${x}^{2}=\frac{8}{3}$，x=$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$
要使$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}＜0$，則點P在A、B之間，∴x₀的取值范圍是（$-\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．
故選：A

點評 本題考查了橢圓的方程、性質(zhì)，向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題．